参考答案：(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA是对称阵．当s＞n时．A的列向量组线性相关(向量个数s＞向量的维数)，故AX=0有非零解，即存在X≠0，使得AX=0，从而使X^TA^TAX=0，故s＞n时，A^TA不正定．当s=n时，范德蒙行列式|A|≠0，A是可逆阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A^TA是正定阵．
当s＜n时，A的列向量组线性无关(s=n时，A的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)，Ax=0有唯一零解，即任给X≠O，均有AX≠0，从而有(Ax)^TAX=X^TA^TAX＞0，从而A^TA是正定阵．
故当s≤n时，A^TA是正定阵．