参考答案：[*]
(Ⅱ)A是3×3的非零矩阵(α₁₁=1≠0)，r(A)≥1．Aξ₁=0，Aξ₂=0，且ξ₁，ξ₂善z线性无关，所以r(A)≤1．则r(A)=1，ξ₁，ξ₂是AX=0的基础解系．又因Aξ₃=(-1)ξ₃，故A(-ξ₃)=ξ₃，AX=ξ₃有特解-ξ₃，从而AX=ξ₃的通解为k₁ξ₁+k₂ξ₂-ξ₃，其中k₁，k₂是任意常数．
(Ⅲ)方法一 直接由题设条件定出未知的a_ij从而求出A．
因r(A)=1，故(a₂₁，a₂₂，a₂₃)=k(1，-2，3)；
(a₃₁，a₃₂，a₃₃)=l(1，-2，3)，
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方法二 利用A的相似对角阵求A．A有三个线性无关特征向量，取
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解析：[注] 本题也可选由(Ⅲ)求出A，再解(Ⅱ)求方程组AX=ξ₃．