参考答案：1．检察人员赖某2011年6月10日告知孙某有权委托辩护人的做法不妥，因为已超过法定期限。根据《刑事诉讼法》第33条规定：“犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起3日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起3日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。”检察人员赖某于2011年6月10日告知犯罪嫌疑人孙某有权委托辩护人，已经超过了法定期限。因为2011年6月10日已经是人民检察院收到移送审查起诉案件材料的第7天，而法律规定是人民检察院应当在收到移送审查起诉案件材料时起3日内告知犯罪嫌疑人有此权利。
2．孙某在公安局工作的哥哥能担任孙某的辩护，因为他是孙某的近亲属。根据《刑事诉讼法》第32条规定：“犯罪嫌疑人、被告人除自己行使辩护权以外，还可以委托一至二人作为辩护人。下列的人可以被委托为辩护人：(一)律师；(二)人民团体或者犯罪嫌疑人、被告人所在单位推荐的人；(三)犯罪嫌疑人、被告人的监护人、亲友。正在被执行刑罚或者依法被剥夺、限制人身自由的人，不得担任辩护人。”及《刑事诉讼法解释》第33条规定：“人民法院审判案件过程中，应当充分保证被告人行使刑事诉讼法第32条规定的辩护权利。但下列人员不得被委托担任辩护人：(一)被宣告缓刑和刑罚尚未执行完毕的人；(二)依法被剥夺、限制人身自由的人；(三)无行为能力或者限制行为能力的人；(四)人民法院、人民检察院、公安机关、国家安全机关、监狱的现职人员；(五)本院的人民陪审员；(六)与本案审理结果有利害关系的人；(七)外国人或者无国籍人。前款第(四)、(五)、(六)、(七)项规定的人员，如果是被告人的近亲属或者监护人，由被告人委托担任辩护人的，人民法院可以准许。”孙某的哥哥可以担任其辩护人。虽然孙某的哥哥属于公安机关的现职人员，但他是孙某的近亲属，其作为孙某的辩护人符合法律规定。
3．根据《刑事诉讼法》第20条规定：“中级人民法院管辖下列第一审刑事案件：(一)危害国家安全、恐怖活动案件；(二)可能判处无期徒刑、死刑的案件。”太阳区人民法院对该案没有管辖权。因为根据刑法的规定，强 * * 致死的法定最高刑为死刑，可能判处无期徒刑或死刑的普通刑事案件应由中级人民法院管辖。
4．法院的做法有两处违反了法律的规定：
第一，不应该公开审理。因为本案被告人孙某是未成年人。第二，审判长决定拘留甘某的做法是错误的。对于拘留，必须经院长批准才能拘留。
5．人民检察院的抗诉理由合理。因为对重罪轻判的，人民检察院可以抗诉。根据《刑事诉讼法》第217条规定：“地方各级人民检察院认为本级人民法院第一审的判决、裁定确有错误的时候，应当向上一级人民法院提出抗诉。”
6．根据《刑事诉讼法》第226条规定：“第二审人民法院审理被告人或者他的法定代理人、辩护人、近亲属上诉的案件，不得加重被告人的刑罚。第二审人民法院发回原审人民法院重新审判的案件，除有新的犯罪事实，人民检察院补充起诉的以外，原审人民法院也不得加重被告人的刑罚。人民检察院提出抗诉或者自诉人提出上诉的，不受前款规定的限制。”在本案中，二审人民法院改判孙某有期徒刑7年不违背上诉不加刑原则。因为在本案中人民检察院在被告人上诉的同时提出了抗诉。