问题
填空题
设α=(1，-1,a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______．
答案
参考答案：k(1，-1，1)T，k≠0
解析： 令B=αβT，由于秩r(B)=1，且βTα=a+1知矩阵B的特征值为a+1，0，0．那么A=E+B的特征值为a+2，1，1．
因为λ=3是矩阵A的特征值，故a+2=3，知a=1．
那么Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α
α=(1，-1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．
要会用定义法求特征向量．注意αβT是3阶矩阵而βTα是一个数，这些符号要仔细分清楚，不要混淆；再者特征向量有无穷多个时，求特征向量要写成通解并指出任意常数非零．