问题
问答题
求曲面积分I=
dzdx+2dxdy，其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z≥0的部分．
答案
参考答案：记I=[*]dydz+Qdzdx+Rdxdy，则[*]
可考虑用高斯公式计算，但S不是封闭的，所以要添加辅助面．
直接套公式计算也不复杂，将之投影在xOy平面上较方便．
[解法1] 添加辅助面S1=0(x2+y2≤4)，法向量朝下，S与S1围成区域Ω，S与S1的法向量指向Ω的外部．在Ω上用高斯公式，得
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用先二后一的求积顺序求三重积分：
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或用球坐标变换来计算：
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其中：Dxy：x2+y2≤4．
因此I=4π-(-8π)=12π．
[解法2] S在xy平面上的投影区域是Dxy：x2+y2≤4．因S取上侧，套公式得
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由x2+y2+z2=4，得[*]代入得
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用极坐标变换得
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解析：[考点提示] 曲面积分．