设f（x）=axx+a（a≠0），令a1=1，an+1=f（an），又bn=an

问题解答题

设f（x）=

x+a

（a≠0），令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又b_n=a_n•a_n+1，n∈N^*
（1）判断数列{

}是等差数列还是等比数列并证明；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和．

答案

（1）由a_n+1=f（a_n）可得：an+1=

a•an

an+a

．

将其变形可得a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），即

an+1

，

所以数列{

}是首项为1，公差为

的等差数列．

（2）由（1）可得

=1+(n-1)

，

所以

n-1+a

，即an=

n+a-1

．

所以数列{a_n}的通项公式为an=

n+a-1

．

（3）设S_n是数列{b_n}的前n项和．

由（1）可得b_n=a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），

所以Sn=a(a1-an+1)=

n+a

．

所以数列{b_n}的前n项和为

n+a

．