参考答案：方法一：要证alnb-blna＜3e⁴(ab²-a²b)，即要证

．
构造辅助函数

．
则F(x)在[e^-2，e^-1]上连续，在(e^-2，e^-1)内可导，应用拉格朗日中值定理，得：

．
设

，e^-2＜t＜e^-1，则有

，e^-2＜t＜e^-1
即g(x)在(e^-2，e^-1)内单调减小，从而g(t)＜g(0)=3e⁴．
故

即alnb-blna＜3e⁴(ab²-a²b)
方法二：要证alnb-blna＜3e⁴(ab²-a²b)，即证

设

，则

当e^-2＜x＜e^-1时，

^"(x)＜0，所以在区间(e^-2，e^-1)内

^’(x)单调减少，则有

^’(x)＜

^’(e^-2)=3e⁴-3e⁴=0所以

(x)在区间(e^-2，e^-1)内单调减少又e^-2＜a＜b＜e^-1，所以

(b)＜

(a)，即

所以
alnb-blna＜3e⁴(ab²-a²b)．