问题
问答题
已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量．
若A2X+AX-6X=0，求A的特征值，并讨论A可否对角化
答案
参考答案：由题设有
A2X+AX-6X=(A+3E)(A-2E)X=0．①
下证A-2E，A+3E必不可逆，即|A-2E|=|A+3E|=0．
事实上，如A+3E可逆，则由方程①得到
(A-2E)X=AX-2X=0，即AX=2X.
这说明X为A的特征向量，故
|A+3E|=0. ②
同法可证A-2E也不可逆，即
|A-2E|=0. ③
由式②、式③即知，2与-3为A的特征值，所以A能与对角阵相似．
解析： A为抽象矩阵，则AX，X均为抽象的向量组．讨论其特征值、特征向量的有关问题常用有关定义及其性质证明．也常用反证法证之．