问题
单项选择题
设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0，r(A)=n-5，α1，α2，α3，α4，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX=0的一个基础解系是______．
A．α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α5，α5+α1
B．α1-α2，α2+α3，α3+α4，α4+α5，α5+α1
C．α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4+α5，α5+α1
D．α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α5，α5-α1
答案
参考答案：A
解析： 上述各选择项中的向量均为AX=0的解向量，这是显然的，关键要确定哪一组向量线性无关．可利用下述结论观察求出：
已知向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，设
β1=α1±α2，β2=α2±α3，…，βs-1=αs-1±αs，βs=αs±α1，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则
(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β1，β2，…，βr线性相关；
(2)当x与k的奇偶性相反时，向量组β1，β2，…，βr线性无关．
解一 本题中s=5(奇数)，只有A中向量组带负号的个数k=0(偶数)，由上述结论即知A中向量组线性无关，因而它们为AX=0的一个基础解系．仅A入选，
而B、C、D中向量组带负号的个数分别为k=1，k=3，k=5，均为奇数，与s的奇偶性相同，故它们均分别线性相关．
解二 由线性相关的定义易知，选项D中向量组线性相关．因
(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α5)+(α5-α1)=0,至于B、C中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关．例如对于B，有
，
而
故选项B中向量组线性相关．
同理，可证选项C中向量组也线性相关．