问题
问答题
设
其中
.
(Ⅰ)选取参数λ，使得
在区域D=(x，y)|y＞0内与路径无关；
(Ⅱ)选取参数λ，使得Pdx+Qdy在D上存在原函数并求出全体原函数.
答案
参考答案：
(Ⅰ)这里区域D是单连通的，P，Q在D上有连续的偏导数，于是
在D内与路径无关
即在区域D上
因此，仅当λ=-1时
在D内与路径无关.
(Ⅱ)只要P，Q在D上连续，则
Pdx+Qdy在D上存在原函数
在D内与路径无关.
因此，由题(Ⅰ)知仅λ=-1时Pdx+Qdy在D存在原函数，下求原函数u(du=Pdx+Qdy)：
方法1°不定积分法，由
对x积分
注意
再由
因此求得Pdx+Qdy的全体原函数为
方法2°特殊路径积分法.
取(x0，y0)=(0，1)及积分路径为折线如图，则
因此，全体原函数为
解析：
把题(Ⅰ)与题(Ⅱ)合起来用如下解法更简便些.
积分
在D内与路径无关
Pdx+Qdy在区域D上存在原函数u(x，y)
存在u(x，y)使得
由
对x积分得
由
得
因此求得：λ=-1，且此时C′(y)=0，C(y)=C. 由
式得
