参考答案：

(Ⅰ)由矩阵A的特征多项式

得矩阵A的特征值λ₁=λ₂=1，λ₃=-3.

由齐次线性方程组(E-A)x=0，

得基础解系η₁=(-4，1，2)^T.

由齐次方程组(-3E-A)x=0，

得基础解系η₂=(-2，1，1)^T.

因此，矩阵A关于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为k₁(-4，1，2)^T，k₁≠1而关于特征值λ=-3的特征向量为k₂(-2，1，1)^T，k₂≠0.

(Ⅱ)

(Ⅲ)由P^-1AP=B有P^-1A¹⁰⁰P=B¹⁰⁰，故A¹⁰⁰=PB¹⁰⁰P^-1. 又

于是

解析：

本题考查特征值、特征向量的计算，以及利用相似求Aⁿ.

求B¹⁰⁰既可以用数学归纳法，也可以用分块矩阵