问题 单项选择题

设n维向量α1,α2,…,αs的秩为r,则下列命题正确的是
(A) α1,α2,…,αs中任何r-1个向量必线性无关.
(B) α1,α2,…,αs中任何r个向量必线性无关.
(C) 如果s>n,则αs必可由α1,α2,…αs-1线性表示.
(D) 如果r=n,则任何n维向量必可由α1,α2,…,αs线性表示.

答案

参考答案:D

解析:

中一定存在r个向量线性无关,而任意r+1个向量必线性相关.
当向量组的秩为r时,向量组中既可以有r-1个向量线性相关,也可以有r个向量线性相关,
故(A)、(B)均错误.例如向量α1,α2,α3,α4分别为
(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(3,0,0,0),
其秩为3,其中α1,α4线性相关,α1,α2,α4也线性相关.该例说明,4维向量可以有2个向量线性相关,也可以有3个向量线性相关,但肯定有3个向量线性无关,
当s>n时,表明α1,α2,…,αs必线性相关,此时有αi可以由a1,…,ai-1,ai+1,…,αs线性表示,但αs不一定能由α1,…αs-1线性表示.故(C)不正确.
若r(α1,a2,…,αs)=n,则对任何n维向量β必有r(α1,α2,…,αs,β)= n.故(D)正确,因此应选(D).

单项选择题
判断题