问题
解答题
设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①
（1）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，证明：{bn}∈W； （2）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a4=2，S4=20，证明：{Sn}∈W并求M的取值范围． |
答案
证明：（1）
=bn+bn+2 2
=5(n+1)-5n-2n+5(n+2)-2n+2 2
•2n+15 4
又bn+1=5(n+1)-2n+1∵
•2n+1＞2n+1∴5 4
≤bn+1…（3分）bn+bn+2 2
∵bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n
∴当n≤2时bn+1＞bn，
当n≥3时bn+1＜bn，
∴当n=3时，{bn}取得最大值7
∴bn≤7，由已知{bn}∈W…（6分）
（2）由已知：设an=a1+（n-1）d
∵a4=2，s4=20
∴a1+3d=4，4a1+6d=20
得∴a1=8，d=-2，
∴an=10-2n，
sn=8n+
•(-2)=-n2+9n…（8分）n(n+1) 2
∴
=sn+sn+2 2
=-n2+7n+7-n2+9n-(n+1)2+9(n+2) 2
又sn+1=-(n+1)2+9(n+1)=-n2+7n+8，
∴
≤sn+1…（10分）sn+sn+2 2
sn=-n2+9n=-(n-
)2+9 2 81 4
又∵n∈N+，
∴当n=4或5时，{sn}取得最大值20
∴sn≤20…（13分）
∴{sn}∈W且M≥20
∴M的取值范围为M≥20…（14分）