问题
问答题
设A是n阶矩阵，证明：
r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．
答案
参考答案：因为r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．令AX=λX，因为A2-kA，所以λ2X=kλX，或(λ2-kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(OE-A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．