问题
解答题
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)="T" f(x)成立.
（Ⅰ）函数f(x)=" x" 是否属于集合M？说明理由；
（Ⅱ）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈M；
（Ⅲ）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的值.
答案
（Ⅰ）f(x)=
（Ⅱ）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，
所以方程组：
有解，消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT="T."
于是对于f(x)=ax有
故f(x)=ax∈M.
（Ⅲ）实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}
（Ⅰ）把函数f(x)= x代入f(x+T)="T" f(x)不恒成立，所以 函数f(x)=" x" 不属于集合M；（Ⅱ）由函数
且
的图象与函数
的图象有公共点，可得
，存在非零常数T，使
.把函数
代入f(x+T)="T" f(x)，结合，可得函数属于集合M；（Ⅲ）先讨论实数
是否为0，
时显然成立；
时，把函数
代入整理得
恒成立，所以
.根据三角函数的诱导公式可得实数的值.