问题
问答题
设A为m×n矩阵，且[*]，其中[*]．
(Ⅰ) 证明方程组AX=b有且仅有n-r+1个线性无关解；
(Ⅱ) [*]有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．
答案
参考答案：(Ⅰ) 令ξ1，ξ2…，ξn-r为AX=0的基础解系，町0为AN=b的特解，显然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn-r=ξn-r+η0为AN=b的一组解，令k0β0+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即
k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+(k0+k1+…+kn-r)η0=0．
上式左乘A得(k0+k1+…+kn-r)b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn-r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，βn-r线性无关．
若γ0，γ1，…，γn-r+1，为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1-γ0，…，ξn-r+1=γn-r+1-γ0为AX=0的解，令k1ξ1+k2rξ2+…+kn-r+1ξn-r+1=0，则
k1γ1+k2γ1+…+kn-r+1γn-r+1一(k1+k2+…+kn-r+1)γ0=0．
因为γ0，γ1，…，γn-r+1线性无关，所以k1=k2=…=kn-r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξn-r+1，为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n-r+1个线性无关解．
[*]=β．因为AX=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4-r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以[*]
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