参考答案：在题设的积分方程中令x=0得f(0)=0，把方程改写成
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由于上式右端各项都可导，因而f(x)可导，且
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即[*]．不难看出f’(x)也可导，且f"(x)=12x²-4f(x)，此外还有f’(0)=1．这样一来，y=f(x)就是二阶常系数线性微分方程初值问题
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的特解．由于y"+4y=0的特征根为λ₁=2i与λ₂=-2i(其中i是虚数单位)，所以其通解为y_C=C₁cos2x+C₂sin2x．
因为非齐次项是12x²，于是非齐次方程是y"+4y=12x²具有形式为y^*=Ax²+Bx+C的特解．令
y"+4y^*=2A+4(Ax²+Bx+C)≡12x²，
可确定A=3，B=0，[*]，即[*]．按通解结构定理知非齐次方程y"+4y=12x²的通解为
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令x=0并利用y(0)=0可确定[*]，在
y’=-2C₁sin2x+2C₂cos2x+6x
中令x=0并利用y’(0)=1可确定[*]．故所求函数
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