问题
问答题
设向量α1，α2，…，αr是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解．
证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关。
答案
参考答案：
对于抽象向量组的线性相关性的证明常用定义证之．注意到待证线性无关的向量组可以看成是一组可以写成另一组向量β，α1，α2，…，αn的线性组合的向量组．如能证明β1，α1，α2，…，αn线性无关，则可用矩阵表示法证之．
证一 设有一组数k，k1，k2，…，kr，使
由于α1，α2，…，αr为Ax=0的基础解系，α1，α2，αr必线性无关，故
k1=k2=…=kr=0．
③
将式③代入式②得k=0，故向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αr线性无关．
证二 用矩阵表示法证之．
先证α1，α2，…，αn，β线性无关，可用反证法证之．如果α1，α2，…，αn，β线性相关，而α1，α2，…，αn线性无关，故β可由α1，α2，…，αn线性表示．设
β=k1α1+k2α2+…+knαn．
在上式两端左乘A，得到
Aβ=k1Aα1+k2Aα2+…+knAαn=0+0+…+0=0．
这与Aβ≠0矛盾，故α1，α2，…，αn，β线性无关．又因
=[β，α1，α2，…，αn]K．
显然|K|=1≠0，故β，β+α1，β+α2，…，β+αn线性无关．