问题
问答题
设f(x，y)，φ(x，y)均有连续偏导数，点M0(x0，y0)是函数z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极
值点，又
，求证：
(Ⅰ)
(Ⅱ)曲面z=f(x，y)与柱面f(x，y)=0的交线Γ在点P0(x0，y0，z0)(z0=f(x0，Y0))处的切
线与xy平面平行.
答案
参考答案：(Ⅰ)由题设条件
方程φ(x，y)=0在点M0邻域确定隐函数y=y(x)，且满足y(x0)=y0.
M0点是z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点
以x=x0为极值点，
它的必要条件是
(*)
由φ[x，y(x)]=0及隐函数求导法得
代入(*)得
，即
(Ⅱ)空间曲线
在P0(x0，y0，z0)处的切线的方向向量(切向量)为
τ与xy平面平行.
解析：本题的(Ⅱ)有如下变式：求证xy平面上的曲线f(x，y)=f(x0，y0)与曲线φ(x，y)=0在点M0处相切.
证明：曲线f(x，y)=f(x0，y0)与曲线φ(x，y)=0在公共点M0处的法向量分别是
与
，由题(1)知，
与
平行
这两条曲线在点M0处相切.