问题
问答题
设总体X的概率密度为
，-∞＜x＜∞，X1，X2，…，Xn为取自X的简单随机样本，试求未知参数θ的矩估计量
，并讨论其无偏性和一致性．
答案
参考答案：[详解] 因为[*]
令 [*]为矩估计量．
又 [*]，故 [*]为无偏估计量．
为了判断一致性，可用大数定律，或计算[*]
因为EX2=θ2+2[*]DX=EX2-(EX)2=2，从而[*]，由切比雪夫不等式知[*]，即[*]为θ的一致估计量．
解析：
[分析]： 求矩估计量，首先应求出总体的数学期望EX，再通过[*]解出未知参数，即得矩估计量[*]；而无偏性，相当于验证[*]；一致性可利用切比雪夫不等式或大数定律证明．
[评注] 将参数估计问题(包括矩估计和最大似然估计)与数字特征的计算(无偏性、有效性、一致性)结合起来考查，是一类典型的考题表现形式．一致性的证明一般通过切比雪夫不等式来做概率，再求极限，引出依概率收敛的相关结论．