问题
问答题
求曲面S：4z=3x2-2xy+3y2到平面π：x+y-4z=1的最短距离．
答案
参考答案：[详解] 因为曲面上任一点(x，y，z)到平面的距离[*]，应用拉格朗日乘数法，设
[*]
解方程组[*]
得[*]
因为驻点唯一，所以曲面S到平面π的最短距离为
[*]
解析：
[分析]： 设P(x，y，z)为曲面S上任一点，则P点到平面π的距离为[*]，此为目标函数，为了方便求导，可设[*]为目标函数，这样所讨论的问题等价于求f(x，y，z)在条件3x2-2xy+3y2-4z=0下的最小值问题．
[评注] ①本题也可用空间解析几何的方法求解．先求出S与平面π平行的切平面，再求出切平面与π之间的距离，以确定S到π的最短距离；
②目标函数用[*]代替，主要是为了计算上的方便，其与原目标函数的最值点是相同的，因此，最后计算最短距离时，只需将驻点坐标代入d中即可．