问题
问答题
设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．
(1)证明：β不是A的特征向量；
(2)证明：β，Aβ，A2β线性无关；
(3)若A3β=Aβ，计算行列式|2A+3E|．
答案
参考答案：[详解] (1)假设β为A的特征向量，则存在λ0使Aβ=λ0β，即A(α1+α2+α3)=λ0(α1+α2+α3)[*](λ1-λ0)α1+(λ2-λ0)α2+(λ3-λ0)α3=0．
由α1，α2，α3线性无关知，λ1-λ0=0，λ2-λ0=0，λ3-λ0=0，
从而有λ1=λ2=λ3，与已知条件矛盾，因此β不是A的特征向量．
(2)设k1β+k2β+k3A2β=0，则
[*]
由α1，α2，α3线性无关，得
[*]
(3)由题设，有
A[β，Aβ，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]
[*]
令P=[β，Aβ，A2β]，则P可逆，且[*]，于是
[*]
解析：
[分析]： (1)证明某向量不是特征向量，一般可用反证法；(2)证明一组向量线性无关，最常用的方法是定义；(3)为了计算行列式|2A+3E|的值，可考虑求出A的具体特征值或A的相似矩阵，而由A[β，Aβ，A2β]=[β，Aβ，A2β]B，即可找到A的相似矩阵B．
[评注] 本题第(3)问是关键，如何找到A的相似矩阵由P-1AP=B[*]AP=PB知，只需找到可逆矩阵P，使得AP=PB成立，则B即为要求的矩阵．而由(2)知，β，Aβ，A2β线性无关，自然想到令p=[β，Aβ，A2β]加即可．