问题 解答题

(本小题满分13分)

定义F(xy)=(1+x)y,其中xy∈(0,+∞).

(1)令函数f(x)=F(1,log2(x3ax2bx+1)),其图象为曲线C,若存在实数b使得曲线Cx0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围;

(2)令函数g(x)=F(1,log2[(lnx-1)exx]),是否存在实数x0∈[1,e],使曲线yg(x)在点xx0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.

(3)当xy∈N,且x<y时,求证:F(xy)>F(yx).

答案

(1)a<10.

(2)略

(3)略

解:(1)f(x)=F(1,log2(x3ax2bx+1))=x3ax2bx+1,设曲线Cx0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,

又由题设知log2(x3ax2bx+1)>0,f′(x)=3x2+2axb

3x20+2ax0+b="-8 " ①

∴存在实数b使得  -4<x0<-1      ② 有解,(3分)

x30+ax20+bx0>0 ③

由①得b=-8-3x-2ax0,代入③得-2xax0-8<0,

∴由   2x20+ax0+8>0 有解,

-4< x0<-1

得2×(-4)2a×(-4)+8>0或2×(-1)2a×(-1)+8>0,

a<10或a<10,∴a<10.(5分)

(2)∵g(x)=(lnx-1)exx

g′(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1=+(lnx-1)ex+1=(+lnx-1)ex+1.(6分)

h(x)=+lnx-1.则h′(x)=-+=,

x∈[1,e]时,h′(x)≥0.

h(x)为增函数,因此h(x)在区间[1,e]上的最小值为ln1=0,即+lnx-1≥0.

x0∈[1,e]时,ex0>0,+lnx0-1≥0,

g′(x0)=(+lnx0-1)ex0+1≥1>0.(8分)

曲线yg(x)在点xx0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x0)=0有实数解.

g′(x0)>0,即方程g′(x0)=0无实数解.

故不存在实数x0∈[1,e],使曲线yg(x)在点xx0处的切线与y轴垂直.(9分)

单项选择题 A1型题
单项选择题 B型题