设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A，求：
(1)二次型xTAx的标准形；
(2)行列式|E+A+A2+…+An|的值，其中E为单位矩阵。
参考答案：设Aα=λα(α≠0)，则A2α=λ2α，又A2α=Aα=λα，
故
或者λ=0。
由n阶实对称矩阵A的秩为r知，λ=1，λ=0分别为A的r重和n-r重特征值，
故存在正交矩阵P，使得
。
(1)经正交变换x=Py，二次型xTAx的标准形为
。
(2)A2=A
A2=…=An=A，故行列式|E+A+A2+…An|=|E+nA|
|E+nA|=|PP-1+nPAP-1||P(E+nA)P-1|
=|P||E+nA||P-1|=|E+nA|=(n+1)r
解析：[考点] 二次型的标准型、抽象行列式的计算
| 刘先生与金女士一家属于高收入、高消费的家庭，理财规划师正在帮助其订立理财规划。通过与刘先生和金女士沟通，获得了以下家庭、职业与财务信息： 一、家庭成员
1．收入情况：刘先生月收入为1.8万元，同时每年还可以分得红利40万元(税前)。每年可以取得利息收入11万元(税后)，房租收入4.6万元(税后)，其他收入5万元(税后)。 2．支出情况：每月生活支出保持在2万元左右，有两位老人需要赡养，每月每人赡养费为0.2万元。每年养老保险支出12.5万元，教育费支出3万元，机动车保险支出1.5万元，此外，刘先生一家还集体到国外旅游花销1.5万元。 三、资产负债情况 刘先生一家现有一套自用住房，价值为80万元，一处投资性房地产价值为47万元。同时刘先生还有一辆自用汽车，价值为65万元。现金及活期存款200万元，定期存款400万元。刘先生投资比较保守，只投资了南方钢铁公司1000股股票。此外，还买了养老保险，现价值为60万元。刘先生一家除了信用卡消费负债1万元外，没有别的负债。 附注：刘先生预期南方钢铁公司未来3年股利为零增长，每期股利为12元。预计从第四年开始转为正常增长，增长率为4%。目前无风险收益率为5%，市场平均股票要求收益率为15%，南方钢铁公司股票的标准差为2.7843，市场组合的标准差为2.3216，两者的相关系数为0.8576。 四、保险状况 1．刘先生：年缴保费为11.7万元、缴费期限20年、保障终身，意外身故250万元、疾病身故200万元的商业保险，已缴费10年。 2．金女士：原所在单位为其办理年并缴费10年的国家基本养老、医疗保险，但是原单位经营不善已破产清算，刘太太因此失去工作，国家基本保险缴费也因此停止缴纳，没有购买商业补充保险。 3．儿子：刘先生早期为其投保“世纪栋梁”子女教育保险，附加意外伤害和意外伤害医疗保险，保额20万元，附加意外伤害和医疗4万元，缴费期限20年，保险期限20年，年缴保费8000多元。 4．财产保险：除投保家庭自用轿车保险外，房屋及其他财产没有保险。轿车实际为刘先生自用并为公司经营服务，与车辆使用有关的保险及其维护保养等费用完全由刘先生家庭承担。 五、理财目标 1．子女创业金：儿子打算本科毕业后能出国留学两年并取得硕士学位，不需要父母考虑为其购房、结婚所需资金，但是学成回国后希望能在父母的资助下创业，创业启动资金大约需要50万元。 2．退休养老：在14年后自己退休时，能够在维持现有生活水平不变的前提下有所提高，同时希望自己退休养老时找一个幽雅的生活环境安度晚年，按照目前生活水平，估计需要准备养老金800万元左右。 3．赡养老人：两位老人需要赡养的年限估计20年左右，受所在城市环境的限制，刘先生和太太开始商量老人的养老环境问题。 |
关于房贷的两种还款方式，下列说法错误的是( )。
A．等额本息还款的利息总额小于等额本金还款的利息总额
B．等额本息还款方式下，各期还款金额相同，适合收入稳定的家庭
C．等额本金还款方式下，前期还款压力较大
D．等额本息还款的利息总额大于等额本金还款的利息总额