问题
问答题
设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．
1.证明：存在非零3维向量ξ，ξ可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出．
答案
参考答案：因α1，α2，β1，β2均是三维向量，四个三维向量必线性相关，由定义，存在不全为零的数k1，k2，λ1，λ2，使得
k1α1+k2α2+λ1β1+λ2β2=0，
得 k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2．
取 ξ=k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2，
若ξ=0，则k1α1+k2α2=-λ1β1-λ2β2=0．
因α1，α2线性无关，β1，β2也线性无关，从而得出k1=k2=0，且λ1=λ2=0，这和四个三维向量线性相关矛盾．ξ即为所求的既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出的非零向量．
故ξ≠0．