问题
填空题
设A是三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关列向量，且满足Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则|A|=______．
答案
参考答案：-4．
解析：
[分析]： 方法一 由题设条件Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，
故A(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=A(α1，α2，α3)[*]
=(α1+2α2+α3，2α1+α2+α3，α1+α2+2α3)
[*]
两边取行列式，得
[*]
[*]
因α1，α2，α3线性无关，所以|α1，α2，α3|≠0，[*]
故有[*]
方法二 Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，
故Aα2=A(α1+α2)-Aα1=α1-α2，
A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，
Aα3=A(α1+α2+α3)-Aα1-Aα2=α3-α1，
故[Aα1，Aα2，Aα3]=A[α1，α2，α3]=[α1+2α2+α3，α1-α2，α3-α1]
[*]
两边取行列式，因|α1，α2，α3|≠0，
[*]
或P=[α1，α2，α3]可逆，得A[α1，α2，α3]=[*]
[*]
相似矩阵有相同的行列式，故[*]