问题
问答题
设α1，α2，α3，α4，β为四维列向量，
A=[α1，α2，α3，α4]，
已知Ax=β的通解为
X=[1，-1，2，1]T+k1[1，2，0，1]T+k2[-1，1，1，0]T， ①
其中[1，2，0，1]T，[-1，1，1，0]T为对应齐次方程组的基础解系，k1，k2为任意常数．令B=[α1，α2，α3]，试求BY=β的通解．
答案
参考答案：为求BY=β的特解，只需找出β用B的列向量α1，α2，α3的线性表示式；为求BY=0的基础解系，只需找出B的列向量之间等于0的线性组合表示式．
如何求得向量之间的这些线性表示式
现有的条件[1，-1，2，1]T为Ax=β的一特解，这就告诉我们B可用A的一个列向量组线性表示．又已知Ax=0的两个解[1，2，0，1]T，[-1，1，1，0]T，这就告诉我们A的列向量之间的两个等于0的线性组合．有了这些条件，刚才提出的问题就可以解决．
由式①知，[1，2，0，1]T，[-1，1，1，0]T为Ax=0的基础解系，[1，-1，2，1]T为Ax=β的一特解，故
n-秩(A)=4-秩(A)=2， 即 秩(A)=2，
且有
β=α1-α2+2α3+α4，
α1+2α2+0α3+α4=0，
-α1+α2+α3+0α4=0．
于是有
α3=α1-α2，
α4=-α1-2α2，
β=2α1-5α2+0α3．
可见α1，α2线性无关，秩(B)=2，且[2，-5，0]T为By=β的特解．
又由α1-α2-α3=0知，[1，-1，-1]T为By=0的非零解，可作为基础解系．故By=β的通解为
y=[2，5，0]T+k[1，-1，-1]T，
其中k为任意常数．