问题
单项选择题
下列命题
①设f(x)在(-∞，+∞)连续，
＜x2，若f(x1)≠f(x2)，则对f(x1)与f(x2)之间的任何数η，必
，使得f(C) =η
②设f(x)定义在[a，b]上并可以取到f(A) ，f(B) 之间的一切值，则f(x)在[a，b]上连续
③设f(x)在[a，b]连续，
，则f(x)在[a，b]上的值域为[m，M]
④设f(x)在[a，b]取到最大值M与最小值m，则f(x)在[a，b]上的值域是[m，M]中正确的是
(A) ①、②． (B) ①、③． (C) ②、③． (D) ③、④．
答案
参考答案：B
解析： ①正确．在所设条件下，
在[x1，x2]上连续，在[x1，x2]上利用连续函数中间值定理得结论．
②不正确．例如：y=f(x)的图形如图1-1，则有
它取f(0)=0，f(3)=3之间的一切值，但它在[0，3]中有不连续点x=1与x=2．
③正确．首先
由最大值与最小值的定义知，
m≤f(x)≤M．
其次，因f(x)在[a，b]连续，由最值定理知，
，使得
f(x1)=m，f(x2)=M．
再由连续函数的中间值定理知，
，
在x1与x2之间，即x∈[a，b]，使得f(x)=y．这就证明了f(x)在[a，b]的值域为[m，M]．
④不正确．若f(x)在[a，b]连续，我们已证此结论正确．现考虑有不连续点的情形．给定函数
见图1-2，则f(x)在[0，2]上取到最大值M=3=f(2)和最小值m=0=f(0)．它的值域是[0，1]∪(2，3]，而不是[0，3]=[m，M]．
综上分析，应选(B)．