问题
解答题
设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E．求证：CD•EF+DF•AE=BD•AF．
答案
证明：设AF的延长线交⊙BDF于K，
∵∠AEF=∠AKB，
∴△AEF～△AKB，因此
=EF AF
，BK AB
=AE AF
．AK AB
于是要证CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需证明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）
又注意到∠KBD=∠KFD=∠C．
我们有S△DCK=
CD•BK•sin∠C1 2
进一步有S△ABD=
BD•AB•sin∠C1 2 S△ADK=
AK•DF•sin∠C1 2
因此要证（2），只需证明S△ABD=S△DCK+S△ADK（3）
而（3）⇔S△ABC=S△AKC⇔BK∥AC（4）
事实上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，得证．
