设y(x)是微分方程y"+(x+1)y’+x2y=ex的满足y(0)=0，y’(0)

问题填空题

设y(x)是微分方程y"+(x+1)y’+x²y=e^x的满足y(0)=0，y’(0)=1的解，并设

存在且不为零，则正整数k=______，该极限值=______．

答案

参考答案：4，[*]

解析：

[分析]：由y(0)=0知，所求极限为“[*]型”．
[*]
由初始条件y’(0)=1，若k=1，则上述极限为0，不符，故k≥2．
[*]
但y"(0)=[e^x-(x+1)y’-x²y]_x=0=0，若k=2，则上式极限为0，不符．故k≥3．
[*]
但y"’(0)=[(e^x-(x+1)y’-x²y)’]_x=0=[e^x-y’-(x+1)y"-2xy-x²y’]_x=0=0，若k=3，则上式极限为0，不符，故k≥4．
[*]
但y⁽⁴⁾(0)=[e^x-y"-y"-(x+1)y"’-2y-4xy’-x²y"]_x=0=1，故知当k=4时，[*]．