问题
填空题
已知A是4阶实对称矩阵，满足A4-3A2=4E．若秩r(A-2E)=1．则二次型xTAx的规范形是______．
答案
参考答案：y21+y22+y23-y24
解析： 设Aα=λα，α≠0，由A4-3A2=4E有(λ4-3λ2-4)α=0，α≠0
从而
λ4-3λ2-4=0．
亦即
(λ2+1)(λ2-4)=0．
因为实对称矩阵特征值必是实数．故A的特征值是2或-2．
由r(A-2E)=1．那么n-r(A-2E)=4-1=3．说明齐次方程组(2E-A)x=0有3个线性无关的解．亦即A一2有3个线性无关的特征向量．故矩阵A的特征值是2，2，2，-2．