参考答案：[解](Ⅰ)据已知条件，有
A(α₁，α₂，α₃)=(-α₁-3α₂-3α₃，4α₁+4α₂+α₃，-2α₁+3α₃)
[*]
记[*]及P₁=(α₁，α₂，α₃)，那么由α₁，α₂，α₃线性无关知矩阵P₁可逆，且[*]即A与B相似．
由矩阵B的特征多项式
[*]
得矩阵B的特征值是1，2，3．从而知矩阵A的特征值是1，2，3．
(Ⅱ)由(E-B)x=0得基础解系β₁=(1，1，1)^T，即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量，
由(2E-B)x=0得基础解系β₂=(2，3，3)^T，即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，
由(3E-B)x=0得基础解系β₃=(1，3，4)^T，即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量，
那么令P₂=(β₁，β₂，β₃)，则有[*]于是令
[*]
=(α₁+α₂+α₃，2α₁+3α₂+3α₃，α₁+3α₂+4α₃)，
则有[*]
所以矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为
k₁(α₁+α₂+α₃)，k₂(2α₁+3α₂+3α₃)，k3(α₁+3α₂+4α₃)，k_i≠0(i=1，2，3)．
(Ⅲ) 由[*]知，[*]
从而[*]所以秩[*]

解析：[评注] 本题综合强，知识点与方法多，考生需很好地思考与总结.例如在特征值的求法上既有用特征多项多，又有用相似矩阵有相同的特征值，还有相关联矩阵特征值之间的联系等方法；在求特征向量时既有齐次方程组(λ_iE-A)x=0的解，又有P^-1AP=[*]中，P是A的特征向量.本题还涉及相似时可逆矩阵P的求法以及相关联矩阵间相似问题等等.