解：（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n，

∴S_n+1-S_n=2S_n，

∴=3，

又∵S₁=a₁=1，

∴数列{S_n}是首项为1，公比为3的等比数列，S_n=3^n-1(n∈N*)。

∴当n≥2时，a_n=2S_n-1=2·3^n-2(n≥2)，

∴a_n=；

(Ⅱ)T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，

当n=1时，T₁=1；

当n≥2时，T_n=1+4·3⁰+6·3¹+2n·3^n-2，………①

3T_n=3+4·3¹+6·3²+…+2n·3^n-1，…………②

①-②得：-2T_n=-2+4+2(3¹+3²+…+3^n-2)-2n·3^n-1

=2+2·=-1+(1-2n)·3^n-1，

∴T_n=+(n-)3^n-1(n≥2)，

又∵T₁=a₁=1也满足上式，

∴T_n=+(n-)3^n-1(n∈N*)。