问题
解答题
对于数列A：a1，a2，…，an，若满足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”。定义变换T，T将"0-1数列"A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0；例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1。设A0是"0-1数列"，令Ak=T（Ak-1），k=1，2，3，…，
(Ⅰ)若数列A2：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求数列A1，A0；
(Ⅱ)若数列A0共有10项，则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
(Ⅲ)若A0为0，1，记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk，k=1，2，3，…，求lk关于k的表达式。
答案
解：(Ⅰ)由变换T的定义可得A1：0，1，1，0，0，1；
A0：1，0，1；
(Ⅱ)数列A0中连续两项相等的数对至少有10对；
证明：对于任意一个“0-1数列”A0，A0中每一个1在A2中对应连续四项1，0，0，1，在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0，1，1，0，
因此，共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对，
所以A2中至少有10对连续相等的数对。
(Ⅲ) 设Ak中有bk个01数对，
Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，所以
，
Ak+1中的01数对有两个产生途径：①由Ak中的1得到；②由Ak中00得到，
由变换T的定义及A0：0，1可得Ak中0和1的个数总相等，且共有
个，
所以
，
所以
，
由A0：0，1可得A1：1，0，0，1，A2：0，1，1，0，1，0，0，1，
所以
；
当k≥3时，
若k为偶数，
，
，
…
，
上述各式相加可得
，
经检验，k=2时，也满足
；
若k为奇数，
，
，
…
，
上述各式相加可得
，
经检验，k=1时，也满足
；
所以
。