问题
解答题
设f（-x）=2-x+a•2x（a是常数）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）如果f（x）是偶函数，求a的值；
（3）当f（x）是偶函数时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明．
答案
（1）令t=-x，则x=-t，于是f(t)=2t+a 2t
∴f(x)=2x+a 2x
（2）∵f （x）是偶函数，∴2-x+
=2x+a 2-x
对任意x∈R恒成立a 2x
即(a-1)(2x-
)=0对任意x∈R恒成立，1 2x
∴a-1=0，即a=1
（3）由（2）知a=1，f(x)=2x+
，设0＜x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=(2x2+1 2x
)-(2x1+1 2x2
)=(2x2-2x1)(1-1 2x1
)1 2x1+x2
∵x1＜x2，且y=2x是增函数，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x1＜x2，x1+x2＞0，∴2x1+x2＞1 ⇒
＜11 2x1+x2
故1-
＞01 2x1+x2
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）
∴当x∈（0，+∞）时，f （x）是增函数．
