问题
解答题
已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m，n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2，
(Ⅰ)求a3，a5；
(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；
(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn。
答案
解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1可得a3=2a2-a1+2=6，
再令m=3，n=1可得a5=2a3-a1+8=20.
(Ⅱ)当n∈N*时，由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8，
于是
，即
=8，
所以，数列{bn}是公差为8的等差数列．
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)的解答可知{bn}是首项b1=a3-a1=6，公差为8的等差数列，
则bn=8n-2，即a2n+1-a2n-1=8n-2，
另由已知(令m=1)可得，
，
那么，
，
于是，cn=2nqn-1，
当q=1时，Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1)；
当q≠1时，Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1，
两边同乘q可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1)·qn-1+2n·qn，
上述两式相减即得
，
所以
，
综上所述，
。