问题
解答题
设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn，已知对任意的整数k∈M，当整数n＞k时，Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立，
(1)设M={1}，a2=2，求a5的值；
(2)设M={3，4}，求数列{an}的通项公式．
答案
解：(1)由题设知，当n≥2时，
，
即
，
从而
2a1=2，
又a2=2，
故当n≥2时，an=a2+2(n-2)=2n-2，
所以a5的值为8．
(2)由题设知，当k∈M={3，4}且n＞k时，
，
且
，
两式相减得
，即
，
所以当n≥8时，
成等差数列，且
也成等差数列．
从而当n≥8时，， (*)
且
，
所以当n≥8时，
，即
，
于是当n≥9时，
成等差数列，
从而
，
故由(*)式知
，
即
，
当n≥9时，设
，
当2≤n≤8时，n+6≥8，从而由(*)式知
，
故
，
从而
，
于是
，
因此，
对任意n≥2都成立，
又由
可知
，
故9d=2S3且16d=2S4，解得
，从而
，
因此，数列{an}为等差数列．
由a1=1知d=2，
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1．