问题
解答题
已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn=an+1-an，
(1)若bn=n+1，求a4；
(2)若bn+1bn-1=bn（n≥2），且b1=a，b2=b（ab≠0），
①当a=1，b=2时，求数列{bn}的前3n项和；
②当a=1时，求证：数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．
答案
(1)解：
，
；
(2)①解：因为
，
所以，对任意的n∈N*有
，
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．
又数列{bn}的前6项分别为1，2，2，1，
，且这六个数的和为7。
设数列{bn}的前n项和为Sn，则
当n=2k(k∈N*)时，
；
当n=2k+1(k∈N*)时，
，
所以，当n为偶数时，
；当n为奇数时，
；
②证明：由①知：对任意的n∈N*有bn+6=b6，
又数列{bn}的前6项分别为1，b，b，1，
，且这六个数的和为
，
设
(其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6})，
所以
，
所以，数列{a6n+i}为以
为公差的等差数列．
因为b＞0时，
，b＜0时，
，
所以{a6n+i}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次，
所以数列{an}中任意一项的值最多在此数列中出现6次，
即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次。
