问题
单项选择题
已知[*]，Aα1=α1，Aα2=α2，Aα3=0，其中α1，α2，α3均为3维非零的列向
(A) (-α1，5α2，α3)． (B) (α2，α1，α3)．
(C) (α1+α2，α2，α3)． (D) (α1，α2，α2+α3)．
答案
参考答案：D
解析： 将可逆矩阵P按列向量分块，记为[*]，则
[*]
[*]
[*]为A的属于特征值λ=1的线性无关的特征向量，ξ3为A的属于特征值λ=0的特征向量．
由题设知，α1，α2是A的属于特征值λ=1的线性无关的特征向量，α3是A的属于特征值λ=0的特征向量，所以P=(α2，α1，α3)是合适的，据此可排除(B)．
据特征值的性质：“若ξ是A的属于特征值A的特征向量，则kα(k≠0)也是A的属于特征值λ的特征向量”，可推得P=(-α1，5α2，α3)是合适的，所以排除(A)．
据特征值的性质：“若ξ，η均为A的属于λ的线性无关的特征向量，则kξ+tη(k，t为不全为零的常数)也是A的属于λ的特征向量”，可推得α1+α2也是A的属于λ4=1的特征向量，注意当α1，α2线性无关时，α1+α2，α1也线性无关，所以P=(α1+α1，α2，α3)是合适的，据此排除(C)．
据特征值的性质：“若ξ，η是A的属于不同特征值的特征向量，则ξ+η就不是A的特征向量”知，α1+α2就不是A的特征向量，故P不能为(α1，α2，α2+α3)，所以应选(D)．