问题
问答题
设n维向量组α1，α2，…，αs线性无关，其中s为大于2的偶数．以α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs+α1，作为列向量构作矩阵
A=(α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs+α1，
求非齐次线性方程组(Ⅰ)：Ax=α1+αs的通解．
答案
参考答案：[解] 由题设知，线性方程组(Ⅰ)的系数矩阵A为n×s矩阵，所以(Ⅰ)的未知量个数为s，下证r(A)=s-1．首先由
[*] (*)
知，A的s个列向量线性相关．
其次，设有数k1，k2，…，ks-1，使
[*]
即 [*]
由题设α1，α2，…，αs线性无关，有
[*]
所以A的前s-1个列向量线性无关．
综上所述得A的列秩为s-1，从而r(A)=s-1．
因线性方程组(Ⅰ)的常数项组成的n维向量即系数矩阵的第s列，所以(0，0，…，0，1)T就是(Ⅰ)的一个特解．
由(Ⅰ)的未知量个数为s，r(A)=s-1，推得(Ⅰ)所对应的导出组Ax=0的基础解系由
s-(s-1)=1
个非零的解向量构成，由(s)知(1，-1，…，1，-1)T是Ax=0的一个非零解，所以(Ⅰ)的通解为：
(0，0，…，0，1)T+t(1，-1，…，1，-1)T，其中t为任意常数．