问题
解答题
已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1（n∈N*）。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn>21-2n成立的最小整数n。
答案
解：（1）由an+2+2an-3an+1=0
得an+2-an+1=2（an+1-an），
∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项，公比为2的等比数列
∴an+1-an=3·2n-1，
∴n≥2时，an-an-1=3·2n-2，…，a3-a2=3·2，a2-a1=3，
累加得an-a1=3·2n-2+…+3·2+3=3（2n-1-1），
∴an=3·2n-1-2（当n=1时，也满足）。
（2）由（1）利用分组求和法得
Sn=3（2n-1+2n-2+…+2+1）-2n=3（2n-1）-2n，
Sn=3（2n-1）-2n>21-2n
得3·2n>24，
即2n>8=23，
∴n>3，
∴使得Sn>21-2n成立的最小整数n=4。