问题
问答题
设有三维向量
请问：当λ取何值时，
(Ⅰ)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式是唯一的；
(Ⅱ)β可由α1，α2，α3线性表示，但表达式不唯一．
答案
参考答案：本题考查向量组的向量关系，实质上是考查线性方程组的求解．
(Ⅰ)设β由α1，α2，α3线性表示为
β=x1α1+x2α2+x3α3，
则[*]，即
[*]
即(1+λ)3+2-3(1+λ)≠0，解得λ≠0且λ≠-3．即λ≠0且λ≠-3时，β可由α1，α2，α3唯一地线性表示．
(Ⅱ)要表达式不唯一，则应有(*)式的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，但要小于3，于是[*]，由上题的结论，得λ=0或λ=-3．
由于λ=-3时，增广矩阵[*]秩为3，而系数矩阵的秩为2，不合要求．
可验证λ=0时，β可由α1，α2，α3线性表示，但不唯一．
