已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9。（1）求

问题解答题

已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9。

（1）求a₂，a₃，a₄的值；

（2）猜想a_n的表达式；

（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想。

答案

解：（1）∵a₁=1，4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9，

∴4a₂-a₂+2=9，解得a₂=，

同理求得a₃=，a₄=；

（2）由a₁=1，a₂=，a₃=，a₄=，猜想a_n=；

（3）证明：①当n=1时，a₁=1，右端==1，等式成立；

②假设当n=k时，等式成立，即a_k=，

那么，当n=k+1时，

∵4a_k+1-a_k·a_k+1+2a_k=9，

∴，

即当n=k+1时，等式也成立；

由①②得对任意n∈N*，等式均成立。