问题
解答题
对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列
T1（A）：n，a1-1，a2-1，…，an-1
对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；
又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2
设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）。
（1）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；
（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（Ak）。
答案
解：（1）
。
（2）设每项均是正整数的有穷数列A为
，则
为
，
，
，…，
，从而
又
，
所以
故
。
（3）证明：设A是每项均为非负整数的数列
当存在
，使得
时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，
则
当存在
，使得
时，
若记数列为C，
则
所以
从而对于任意给定的数列
，由
可知
又由（2）可知
，
所以
即对于
，要么有
，要么有
因为
是大于2的整数，
所以经过有限步后，必有
即存在正整数K，当
时，
。