问题
问答题
已知向量β= (a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，-1，-3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出.
(Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件；
(Ⅱ)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；
(Ⅲ)把向量β分别用α1，α2，α3，α4和它的极大线性无关组线性表出.
答案
参考答案：(Ⅰ)β可由α1，α2，α3，α4线性表出，即方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解，对
增广矩阵作初等行变换，有
①
所以向量β可以由α1，α2，α3，α4线性表出的充分必要条件是：a1-a2+a3-a4=0.
(Ⅱ)向量组α1，α2，α3，α4的极大线性无关组是：α1，α2，α3，而
α4=-6α1+6α2-3α3. ②
(Ⅲ)方程组①的通解是：
x1=a1-a2+2a3-6t，x2=a2-2a3+6t，x3=a3-3t，x4=t，其中t为任意常数，
所以β=(a1-a2+2a3-6t)α1+(a2-2a3+6t)α2+(a3-3t)α3+tα4，其中t为任意常数.
由②把α4代入，得
β=(a1-a2+2a3)α1+(a2-2a3)α2+a3α3.