问题
问答题
已知
是某二阶线性常系数微分方程y″+ py′+qy=f(x)的三个特解.
(Ⅰ)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y′(0)=0的特解，求
.
答案
参考答案：(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理
均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的. 于是相应的特征方程为
(λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0，
原方程为y″+4y′+4y=f(x). (*)
又y*(x)=xe-x是它的特解，求导得
y*′(x)=e-x(1-x)，y*″(x)=e-x(x-2).
代入方程(*)得
e-x(x-2)+4e-x(1-x)+4xe-x=f(x)
f(x)=(x+2)e-x
所求方程为y″+ 4y′+4y=(x+2)e-x，其通解为
y=C1e-2x+C2xe-2x+xe-x，其中C1，C2为
常数.
(Ⅱ)
方程的任意解y(x)均有
不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得
