问题
解答题
设数列{an}满足an+1=a22-nan+1，n∈N*。
（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；
（2）当a1≥2时，证明n∈N*，有an≥n+1。
答案
解：（1）由a1=2，得a2=a21-a1+1=3，
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4，
由a3=4，得a4=a23-3a3+1=5
由此猜想an的一个通项公式为：an=n+1（n∈N*）。
（2）证明：①当n=1时，a1≥2，不等式成立
②假设当n=k（k∈N*且k≥1）时不等式成立，即ak≥k+1，
那么当n=k+1时，
ak+1=ak（ak-k）+1≥（k+1）（k+1-k）+1=k+2，
也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+1
根据①和②，对于所有n∈N*，都有an≥n+1。