参考答案：(Ⅰ)令

问题转化为求幂级数

的收敛域. 先求收敛区间，再考察收敛区间的端点. 求解如下：
令

我们考察幂级数

，其中

由

的收敛区间是

. 由于

时

发散
(因为

发散，

收敛)，而

时，

收敛，因此，

的收敛域是

又

对应于

因此，原级数的收敛域是

(Ⅱ)为证当x∈[0，+∞)时级数

收敛，且和函数S(x)在[0，+∞)有界，自然的想法是给出级数一般项的估计

，只要

收敛就可得出结论.
为了在[0，+∞)上估计

，我们求f(x)=x²e^-nx在[0，+∞)上的最大值：由

f(x)在

取[0，+∞)上的最大值，即

因为

收敛，所以

在[0，+∞)收敛，且S(x)在[0，+∞)上有界.

解析：我们也可以用如下方法估计x²e^-nx：

注意z²e^-x在[0，+∞)上连续，

在[0，+∞)有界

x∈[0，∞)其中M＞0是某常数.