参考答案：(Ⅰ)因r(A)=r(aβ^T+βα^T)≤r(aβ^T)+r(βα^T)≤r(α)+r(β)≤2．
故|A|=0。
(Ⅱ)因已知a^Tβ=β^Tα=0，α^Tα=β^Tβ=1，故
A(α+β)=(aβ^T+βα^T)(α+β)=αβ^T(α+β)+βα^T(α+β)
=α(β^Tα)+α(β^Tβ)+β(α^Tα)+β(α^Tβ)=α+β．
故α+β是A的对应于λ=1的特征向量．
同理 A(α-β)=(aβ^T+βα^T)(α-β)=aβ^Tα-aβ^Tβ+βα^Tα-βα^Tβ
=-α+β=-(α-β)，
故α-β是A的对应于λ=-1的特征向量．
(Ⅲ)由(Ⅰ)，|A|=0，A有λ₁=0．由(2)，A有λ₂=1，λ₃=-1．
A有三个互不相同的特征值，故
[*]