问题
解答题
在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N*，
（Ⅰ）求a2，b2的值；
（Ⅱ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
答案
解：（1）由题设有
，a1=1，解得
，
由题设又有
，b1=4，解得
；
（2）由题设
，2an+1为bn与bn+1的等比中项，a1=1，b1=4，及
，
，
进一步可得
，
猜想
，
，n∈N*，
先证
，n∈N*，
当n=1时，
，等式成立；
当n≥2时用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时，
，等式成立；
（2）假设n=k时等式成立，即
，k≥2，
由题设，
， ①
，②
①的两边分别减去②的两边，整理得
，
从而
．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2）可知，等式
对任何的n≥2成立．
综上所述，等式
对任何的n∈N*都成立；
再用数学归纳法证明
，n∈N*。
（1）当n=1时，
=4，等式成立；
（2）假设当n=k时等式成立，
即
，那么
，
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2）可知，等式
对任何的n∈N*都成立。